Determinante De Matrices

Introduccion

Las matrices y los determinantes son herramientas del  algebra que facilitan el ordenamiento de
datos, ası como su manejo.

Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados basicamente en el siglo XIX
por matematicos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandes William Hamilton.

Las matrices se encuentran en aquellos ambitos en los que se trabaja con datos regularmente
ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales , Economicas y Biologicas.

Definicion y sus ejemplos:

Una matriz es una tabla rectangular de numeros reales dispuestos en filas y columnas del modo: 

Abreviadamente se puede expresar A = (aij ). Cada elemento de la matriz lleva dos sub ındices. El
primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna.
Ası el elemento a23 esta en la fila 2 y columna 3. Las matrices siempre se representaran con letras
mayusculas.

Tipos de matrices:

1. Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.
Por ejemplo,

2. Se llama matriz fila a la que s´olo tiene una fila, es decir su dimensi´on es 1x n.
Por ejemplo,

 3. Se llama matriz columna a la que solo consta de una columna, es decir su dimension sera m x
1, como por ejemplo:

Aplicaciones de las matrices:

Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar

valores numericos atendiendo a dos criterios o variables.

 

Operaciones con matrices:

Suma 

Dadas dos matrices A y B podemos realizar su suma o diferencia de acuerdo a la siguiente regla.

Para sumar o restar dos matrices del mismo tamaño, se suman o restan los elementos que se encuentren
en la misma posicion, resultando otra matriz de igual tamaño.
Por ejemplo:

Propiedades de la suma (y diferencia) de matrices:

a) Conmutativa: A + B = B + A
b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
c) Elemento neutro: La matriz nula del tama˜no correspondiente.
d) Elemento opuesto de A: La matriz -A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A.

Concepto de límite de una función

Limites Derivados

Limites Integrales

funsion Concepto Continuidad

Regecion lineal

Articulo sobre matrices 

Una matriz es una colección ordenada de elementos colocados en filas y columnas. Nosotros trabajaremos con matrices formadas por números reales.

La dimensión de una matriz viene dada por el número de filas y columnas que tenga, así una matriz de dimensión 2x3 es una matriz con dos filas y tres columnas.
Las matrices se suelen notar con letras mayúsculas y sus elementos si son genéricos con minúsculas y un subíndice que indica la fila y columa en que se encuentra, así a₂₃ hace referencia al elemento que se encuentra en la fila 2 columa 3.
Una matriz genérica de tres filas y tres columnas, de dimensión 3x3 es

Y en general una matriz de n filas y m columas A_nxm

En forma contraida se expresa A=(a_ij ) i=1,...,n j=1,2,...,m

Suma y resta

No todas las matrices se pueden sumar o restar entre sí.

Condición necesaria para sumar o restar dos matrices es que tengan la misma dimensión, es decir, que tengan el mismo número de filas y de columnas.
Para sumar matrices de la misma dimensión se suman entre sí los elemtentos que ocupan el mismo lugar en cada matriz.

Análogamente para la resta, se restan entre sí los elementos que ocupan el mismo lugar.

Definiciones

1. Se dice que dos matrices A y B son iguales si tienen la misma dimensión y son iguales elemento a elemento, es decir, a_ij=b_ij i=1,...,n j=1,2,...,m.
2. Se dice que una matriz A es cuadrada si tiene el mismo número de filas que de columnas.
3. Se llama matriz fila a aquella que tiene una única fila.
4. Se llama matriz columna a aquella que tiene una única columna.
5. Se llama diagonal principal de una matriz A a la diagonal formada por los elementos a_ii.
6. Se dice que una matriz es triangular superior si todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal son nulos.
7. Se dice que una matriz es triangular inferior si todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son nulos.

Cálculo de la matriz inversa
1. Método de Gauss-Jordan
Este método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz identidad (I) y hacer operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a A como a I, con el objeto de transformar la matriz A en la matriz identidad, la matriz resultante de las operaciones sobre I es la inversa de A (A^-1).
Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:
a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo, sustituimos la fila 2 por ella multiplicada por 3.
b) Permutar dos filas
c) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras.

La matriz inversa de A es

Forma matricial de un sistema lineal de ecuaciones

           Un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas es un sistema de la forma



La expresión matricial del sistema es



Donde:

A= es la matriz de coeficientes del sistema.
X= es la matriz de incógnitas.
B= es la matriz de términos independientes.
Luego un sistema lineal de ecuaciones se puede expresar matricialmente como A·X=B
Si la matriz de coeficientes es invertible, es decir, posee inversa entonces el sistema tiene solución A·X=B => A^-1·A·X=A^-1·B => X=A^-1·B·.
Por tanto resolver un sistema de ecuaciones a través de matrices consiste en poner el sistema en forma matricial. La solución, si la hay, será el producto de la inversa de la matriz de coeficiente (A^-1) por la matriz de términos independientes (B).

Ecuaciones matriciales

 Una ecuación matricial es una ecuación donde la incógnita es una matriz.
Para resolver una ecuación matricial se transforma la ecuación inicial en otra equivalente usando las propiedades de las matrices. Es muy importante tener en cuenta que las matrices no son conmutativas, por ello, si se quiere multiplicar una ecuación por determinada matriz hay que hacerlo en ambos términos de la igualdad por el mismo sitio.
Supongamos que tenemos la ecuación matricial A·X=B-C, esta ecuación tendrá solución si A es invertible. Multiplicamos a la izquierda por A^-1quedando A^-1A·X=A^-1(B-C) de ahí se deduce que X=A^-1(B-C). Veamoslo con matrices

Sean las matrices

Resuelve la ecuación A·X=B-C

Por el razonamiento anterior X=A^-1(B-C)

Calculamos la inversa de A



 

5 Ejemplos de matrices

5 Ejemplos de matrices: